نوابیغ

چكیده
احتمالاً تا به حال شنیده اید كه حدس معروف گلدباخ هنوز اثبات نشده است. پس ریاضی دان ها چه می كنند؟ آیا كسی را می شناسید كه به فكر اثبات آن باشد؟ تابعی سراغ دارید كه به كمك آن بتوان اعداد اوّل را تشخیص داد؟ اگر كسی ادّعا كند كه می تواند هر زاویه دلخواه را تنها با كمك خط كش و پرگار به سه قسمت مساوی تقسیم كند در مورد او چه فكر می كنید؟ آیا او یك نابغه است؟

مقدّمه
می خواهیم در مورد نوابیغ صحبت كنیم. نه اشتباه نكنید نوابیغ جمع نابغه نیست. در واقع نوابیغ افرادی هستند كه ادّعای نبوغ دارند و معمولاً یك جایی یك مسأله با جایزه 1 میلیون دلاری دیده اند یا در دبیرستان از دبیر ریاضی خود شنیده اند كه فلان مسأله قرن ها حل نشده باقی مانده است. بعد سعی می كنند آن را حل كنندو حتّی ممكن است سال های سال عمر عزیزشان را بر سر این كار تلف كنند. این اشخاص در تمام كشورها یافت می شوند. در كشور ما نیز نوابیغ پیدا می شوند. تجربه چند سال اخیر، ما را بر آن داشت كه به دلایلی كه توضیح خواهیم داد این مقاله را بنویسیم. در این مقاله حروف لاتین را برای ارجاع به بعضی از این اشخاص به كار برده ایم و به دلایلی كه در متن مقاله روشن خواهد شد از آوردن مشخصات آنان خودداری كرده ایم.

ادامه مطلب

سنگ نبشته های ریاضی

در تمام تمدنهای دنیا , کتابت به صورت ناقص اغاز شد و در طول سیر خود,بصورت یکنواخت و تدریجی تکامل پیدا کرد . اما این امر در مورد مایاها صدق نمی کند, زیرا هنر کتابت انها از همان اغاز تمدنشان به حد کمال رسیده بود . در ریاضیات نیز مایاها از وجود صفر باخبر بوده اند , انها صفر را بصورت یک صدف ریز بکار میبردند . همچنین به سیستم اعشاری,لگاریتم و دیگر محاسبات ریاضی اشنا بوده اند پرفسور " انر " در این باره چنین نوشته است : موقعی که تصویری در یک کتیبه مثلا 10 مرتبه یا بیشتر تکرار میشود و یا تعداد پله های یک هرم تا انتهای بصورت دقیق و حساب شده محاسبه میگردد, این نشانه یک محاسبه دقیق ریاضی میباشد . تمام هنر مایاها در ریاضیات متمرکز شده بود که در نهایت به روی کتیبه های سنگی منتقل شده است . علم نجوم نیز در مایاها نسبت به بقیه اقوام ان سرزمین به مراتب پیشرفته تر بوده است, اگاهی انها به سیستم منظومه خورشیدی و صور فلکی تعجب برانگیز است . یک طاق با عظمت به یادبود کنگره ستاره شناسی که در 2 ماه سپتامبر 503 میلادی در "کوپان" ان سرزمین برپاگردید,بنا شده است ( واقعا جای تعجب دارد که این قوم اسرارانگیز این همه علم و معرفت را از کجا اموخته اند.؟. کتیبه ای که نشان از گرامی داشتن این کنگره ستاره شناسی که در ان بزرگترین عالمان و ستاره شناسان مایا در ان شرکت کردند با تاریخ مختص مایا بر طاق یکی از بناها نقش بسته است.!! ) ساختمان رصدخانهی انها بطور شگفت انگیزی مشابه رصدخانه های امروزی ما میباشد,منتهی بدون وجود دستگاه و الات مدرن ستاره شناسی امروز, و جای تعجب اینجاست که انها بدون داشتن این قبیل تجهیزات چگونه توانسته اند اطلاعات دقیقی در مورد اجرام سماوی کسب نمایند.!! ایا براستی انها " اربابان کره زمین " بوده اند.؟ اجازه دید یک نگاه کلی به شهرهای مایا بیندازیم . شهرهای انها با جلال و جبروت, تمیز و مرتب بوده است . میادین و چهارراه های انها وسیع و سطح خیابانها یا سنگفرش بوده و یا با ماده سفید سیمان مانندی پوشیده شده بود . معابد انها مزین به تصاویر عظیم موجودات عجیب و باغچه ها و اب نماهای زیبا در همه جا بچشم میخورد. یک سیستم فاضلاب بهداشتی تما شهر را در بر گرفته . جاده های انها بخوبی جاده های اینکاها نبوده ولی این چیزی از ارزش جاده های انها کم نمی کند . مثلا جادهء به طول 100 کیلومتر از کوبا به یاکزونا که با سیمان پوشیده شده و طرفین ان نرده کشی شده بود و تماما از یک منطقه صعب العبور باتلاقی گذشته است . سئوال این است که " مایاها که از چرخ استفاده نمیکردند و هیچ گاری و یا وسیله چرخداری در شهر انها نبوده این جاده ها را برای چه احداث کردند.؟" . مایاها انواع مختلف گیاهان را پرورش داده و رنگ های متنوع گیاهی تولید می کرده اند – مثل ابی , بنفش,نیلی و رنگهای دیگر . انها همچنین از لاستیک برای ساختن پای افزار,توپ بازی و ضد اب نمودن لباسهایشان استفاده میکردند ( البته منظور از لاستیک درختی میباشد که از ان ضمغی بدست می اید که خاصیت لاستیک دارد و به همین نام انرا میشناسند ) انها حتی از برگهای فندوق وحشی و با استفاده از چسب و صمغ , کاغذ و کتاب درست میکردند . با وجود اینها تفاوت تکنیک انها غیر عادی نبود . این خلاصه ای بود از تمدنی که "مایا "نام دارد و همچنان اسرار امیز باقی مانده . هنوز کسی نمیداند که انها این همه علم را از کجا بدست اوردند . چرا مهاجرت ملی کردند . و این تمدن عظیم چگونه از میان رفت . امیدوارم توانسته باشم با معرفی این قوم اسرار انگیز کمکی هر چند کوچک در جهت معرفی این قوم پر معما کرده باشم

هندسه نااقلیدسى و نسبیت عام اینشتین

در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقلیدس یگانه نظامى است كه امكان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى كردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یك خط و تنها یك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بیش از یك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا كه كوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یك منحنى است.
هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد كه هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یك كره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد كه نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیكدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مكان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشكارى میان ریاضیات محض و ریاضیات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است كه به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه كاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حركت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده كرد. بدین منظور هندسه «ریمانى» را برگزید.
هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یك صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یك چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نور مستقیم نیست بلكه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است كه سطح كرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى كوتاه ترین خطوط بین نقاط حركت مى كند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظریه نسبیت عام گرانش یك نیرو نیست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشیا اطلاق مى كنیم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد كه ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده كنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند كه به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه كرد به طورى كه شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى كه اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند كه پدیده هایى سازگار با زمان - مكان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است كه نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظریه هایى كه بدین طریق به دست مى آوریم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل كافى براى رد آنها وجود دارد؟

جملات ریاضیاتی

ژاكوبی
با وجود اهمیتی كه كاربرد ریاضیات دارد اما این كار نباید ملاك ارزش گذاری آن باشد.

هیلبرت
به نظر میرسد معمار بزرگ جهان ریاضیدان است.

 

جینز
زندگانی به این درد می خورد كه انسان به دو كار مشغول گردد :
اول : ریاضی بخواند.
دوم : ریاضی درس بدهد.

پواسون

در هر چیز از جمله یك نظریه ریاضی زیبایی را میتوان درك كرد اما نمی توان توضیح داد.

 

كیلی
چنین به نظر می رسد كه ریاضیات حس جدیدی غیر از احساسات عادی به ریاضیدان می بخشد.

 

جی.جی. سیلوستر
هدف فیزیک نظری کشف قانون های جهان قابل فهم است ؛ هدف ریاضیات محض کشف قانون های فهم بشر

داوید هیلبرت
کسی که در جستجوی روش است بی آنکه مساله ای جدید در ذهن داشته باشد اغلب به نتیجه نمی رسد

پیر فرما
و شاید آیندگان از اینکه نشان داده ام قدیمی ها همه چیز را نمی دانستند ، سپاسگزار من باشند

آراگو
اویلر خیلی راحت محاسبه می کرد، به همان راحتی که انسان نفس می کشد یا عقاب خود را در آسمان نگه می دارد

جان لاک
اثبات ریاضی مانند الماس قاطع و شفاف است، و با چیزی جز استدلال دقیق نمی توان به آن رسید.

دمورگن
نیروی محرکه ابداع ریاضی استدلال نیست، تخیل است

د.یا. سترویک
باید به یاد داشته باشید که مفهوم های ریاضی نتیجه ای از کار ازاد ذهن نیستند بلکه انعکاسی از جهان واقعی و عینی دور وبر ما هستند که البته اغلب به صورت کاملا انتزاعی طرح می شود

آ.ن.کر یلاف
مهندس باید از روشهای کلی ریاضیات که در حل مجموعه ای از مسئله ها به کار می رود استفاده کند . تنها در این صورت است که می تواند به پرسشهای تازه ای که در رشته تخصصی او وجود دارد پاسخ گوید

ب.فلدلیوم
هر کشف تازه ای که در علوم طبیعی و صنعت رخ میدهد تنها از راه به کار بردن نتیجه گیری های جدید در عمل و یا زنده کردن نظریه های فراموش شده ریاضی است به این ترتیب نظریه های ریاضی از قبل راه پیشرفت علم وصنعت را پیش بینی می کنند.

فردید و هشترودی

حدود 50 سال پیش در یک شب پاییزی مناظره یی میان استاد احمد فردید و علامه مفید دکتر محسن هشترودی در باشگاه مهرگان (مرکز جامعه لیسانسیه های دانشسرای عالی) صورت گرفت. موضوع مناظره انتقادهایی بود که فردید بر اندیشه های فلسفی دکتر هشترودی کرده بود. تالار باشگاه چنان آکنده از استادان و دبیران علوم طبیعی، ریاضی و فلسفه بود که بسیاری جا برای نشستن نیافته و در پیرامون دیگران ایستاده بودند.

ادامه مطلب

روشهای حل مساله

با توجه به نوع مساله می توان از بعضی موارد ذکر شده صرف نظر کرد.
● عمده ترین روشهای حل مساله عبارتند از:
۱) جستجو برای الگو
همواره کار حل مساله را با نوعی ادراک شهودی از مساله شروع می کنیم و با بررسی چند حالت خاص به سوی الگوسازی برای حل کامل آن جلو می رویم.
۲) رسم شکل
در هر مساله ای که امکانپذیر باشد رسم یک شکل (اعم از هندسی یا یک نمودار و غیره) می تواند در یافتن حل مساله الهام بخش باشد و رابطه بین اجزا مساله را بهتر نمایان می سازد.
۳) صورتبندی مساله معادل:
در بخش قبل دیدیم که گام نخست در حل مساله عبارت است از جمع آوری داده - جستجو - فهمیدن مساله - برقراری ارتباط بین اجزا - حدس زدن و تجزیه تحلیل. ولی اگر همه این کارها به روش معقولی میسر نباشد چه کنیم؟ یعنی اینکه ممکن است کارهای محاسباتی خیلی پیچیده باشد و یا به سادگی نتوانیم حالتهای خاصی را مطرح کنیم تا به بینش لازم برسیم.آنچه در چنین شرایطی توصیه می شود این است که مساله را با مساله ای معادل ولی ساده تر جایگزین کنیم. راه کلی در این گونه معادل سازی به بینش و تجربه های عمومی باز می گردد ولی کارهایی از قبیل دستکاریهای جبری یا مثلثاتی و تفسیر مجدد مساله با زبانی دیگر می تواند موثر باشد.
۴) تغییر مساله:
در بعضی مسایل می توانیم مساله مورد نظر را به مساله دیگری تبدیل کنیم. این دو مساله لزوما معادل یکدیگر نیستند ولی حل مساله دوم حل مساله اول را نتیجه می دهد.
۵) انتخاب نمادهای مناسب:
از نخستین گامها در حل مساله های ریاضی تبدیل مساله به صورتی نمادین می باشد. در انتخاب نمادها باید هر ایده کلی را ملحوظ داشته و آن را با نمادی بیان کنیم. بی دقتی در انتخاب نمادها ممکن است به از بین رفتن یا مبهم شدن بعضی از روابط منجر شود.
۶) استفاده از تقارن:
وجود تقارن در یک مساله موجب می شود که با عملیات کمتری مساله را به جواب برسانیم.
۷) تجزیه به حالتهای ساده تر:
گاهی اوقات می توان یک مساله را به تعدادی مساله ساده تر و کوچکتر تبدیل کرد که هر کدام از این مسایل ساده تر را می توان جداگانه در نظر گرفت.
۸) کار عقب رونده:
کار عقب رونده یعنی اینکه نتیجه مورد نظر را مفروض گرفته شروع به استنتاج هایی از آن کنیم تا به یک مساله حل شده برسیم. در این صورت گامهای معکوسی را در نظر بگیریم تا به نتیجه مطلوب دست پیدا کنیم.
۹) بررسی نقیض:
استفاده از تناقض یعنی مفروض گرفتن نادرستی حکم و با استنتاج به نتیجه نادرست یا متناقضی رسیدن از روشهای آشنا در ریاضیات است.
۱۰) زوجیت:
ایده ساده زوج و فرد بودن یکی از ابزارهای بسیار قوی در حل مساله است که کاربردهای وسیعی دارد.
۱۱) بررسی حالتهای حدی:
در برخورد اولیه با مساله بعضی اوقات تغییردادن پارامترها بین حدهای پایین و بالای ممکن آنها ایده هایی برای حل مساله به همراه خواهد داشت.
۱۲) تعمیم:
معمولا ساده سازی یک مساله راهگشای حل آن است. اما در بعضی موارد حالت تعمیم یافته مساله سهل تر قابل حل است و حالت مورد نظر را می توان به عنوان یک حالت خاص نتیجه گرفت. در واقع ایده تعمیم و در کنار آن مجرد سازی ویژگی خاص ریاضیات نوین است.
در پایان اشاره می کنم که سعی کنید یک مساله را در صورت امکان به چند روش حل کنید. این کار باعث بهبود سرعت و خلاقیت شما در حل مسایل دیگر می شود. روشهای مختلف حل مساله بخشهایی از زوایای پنهان مساله را برای شما آشکار می کند.

ریاضیات و صنعت

در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسائل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسائلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی بمب افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.

ادامه مطلب

معرفی کتاب No:01

معرفی کتاب «از ریاضی چه میدانیم؟»

درباره کتاب

در این شرح مهیج و شورانگیز، ریاضیدان اموزنده معروف، پروفسور سویر (استاد بازنشسته دانشگاه تورونتو)، ریاضیات را رده بندی و مطالعه همه الگوهای ریاضی تعریف می کند. این تعریفی است کلی و دامنه دار، ولی ظاهرا تعریفی است که برای گستره عظیم و ژرف این مبحث مناسب است. زیرا چنین به نظر می رسد که ریاضیات دارای چند مرز است، یا در کاربرد برای مسائل علمی، و یا در سیر تحولی که اندیشه را به درون قلمرو های تجرید محض می کشاند. پروفسور سویر در حالی که مطالب کتابش را برای مردم عادی که دریافتشان از مسائل ریاضی ممکن است تا حدی نامطمئن باشد تنظیم می کند، طرحی روشن و آسان فهم برای گرایش ریاضی دانان پیش پا گذارد. در پنج فصل اول که به قلمی شیوا نگاشته شده به زیبایی، قدرت و رازورزی ریاضیات؛ نقش ریاضیات در کمک به موضوع های سود گرایانه؛ اشاره دارد، و مفاهیم الگو و وحدت را به عنوان ابزار و هدف تفکر ریاضی می نمایاند. مؤلف، پس از بسط این کار زیر بنای مجرد، پرداختن به مباحث پیشرفته تر را ادامه می دهد: هندسه نااقلیدسی، ماتریس ها، هندسه تصویری، دترمینان ها، تبدیلات، و نظریه گروه ها را به تصویر می کشد. در این جا بر ریاضیات سودگرایانه علمی زیاد تکیه نمی کند، بلکه بر آن شاخه هایی تأکید دارد که ذاتا مهیج هستند - ریاضیاتی که غرابت، تازگی، و به ظاهر ناممکن بودن را به همراه دارد - مثلا حسابی که در آن عددی بزرگ تر از 4 وجود ندارد. ریاضیدانان با احاطه کامل مؤلف بر رشته وسیعی از مباحث مهم ریاضی معترفند، و توانایی وی را در روشن کردن مطالب پیچیده آن پذیرفته اند. مردم عادی، به ویژه آنان که از کمترین پایه ریاضی برخوردارند، آسان فهم بودن بخش اعظم مطالب کتاب را ستوده اند؛ مطالبی که نه تنها تصویری از ریاضیات به مثابه ابزاری بی همتا برای کند و کاو ماهیت جهان است، بلکه نگاهی است پرده بردار از موجود اسرارآمیزی که «اندیشه ریاضی» نام دارد. پروفسور سویر در این چاپ جدید «دوور» مطالب به روز درآمده در باب نظریه گروه ها را، که برای نخستین بار به نظر خوانندگان می رسد، با آن افزوده است.

فهرست مطالب

معرفی نویسنده فصل اول: در بیان زیبایی و توانایی ریاضیات فصل دوم: خصوصیات یک ریاضیدان چه ها هستند؟ فصل سوم: الگو در ریاضیات مقدماتی فصل چهارم: تعمیم در ریاضیات مقدماتی فصل پنجم: در باب وحدت فصل ششم: هندسه هایی غیر از هندسه اقلیدس فصل هفتم: جبر بدون حساب فصل هشتم: جبر ماتریس ها فصل نهم: دترمینان ها فصل دهم: هندسه تصویری فصل یازدهم: درباره غیر ممکن های آشکار فصل دوازدهم: در باب تبدیلات فصل سیزدهم: حساب های متناهی و هندسه ها فصل چهاردهم: درباره گروه ها

تابع و مفهوم آن

تابع
مفهوم تابع یا پردازه، در سراسر ریاضیات نوین و دیگر دانش‌ها و در همهٔ سطوح از ارزش بسزایی برخوردار است. این مفهوم در ابتدا در حساب دیفرانسیل و انتگرال که بیش‌تر به مطالعه توابع حقیقی و بررسی حد و مشتق و انتگرال آنها می‌پردازد شکوفا شد. شاید آنچه را که واژهٔ تابع در ابتدا در پندار خوانندهٔ کم و بیش آشنا با این مفهوم ایجاد کند، گزاره ای چون f(x)=x2+sinx و سایر گزاره‌های جبری باشد(به شرط تابع بودن) که بیش‌تر اعداد حقیقی و یا مختلط برای این مورد به‌کار برده می‌شود. ولی این مفهوم بسیار گسترده تر از این است و این تنها بخش کوچکی از مفهوم تابع است. در آغاز مفهوم تابع چندان فراگیر نبود ولی در ادامهٔ تلاش‌ها برای پیش‌نهادن(ارائه) تعریف و مفهومی کلی از تابع و گسترش نظریه مجموعه‌ها، پنداره‌ای(مفهومی) ساده و فراگیر از تابع ارائه شد. این کلیت به قدری است که مثلاً برای مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال باید شرایطی اضافی را بر تابع(مانند پیوستگی و مشتق پذیری) اعمال کرد تا رده خاصی از توابع مورد نظر برای مطالعه حاصل شود. در بیشتر زمینه‌های ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت نیز بیش‌تر با تابع هم معنی پنداشته می‌شوند. به هر روی شاید که در برخی زمینه‌ها ویژگی‌های دیگری داشته باشند. برای نمونه در هندسه، یک نگاشت گاهی یک تابع پیوسته تعریف می‌شود.

ادامه مطلب

درآمدی فلسفی بر هندسه تصویری

تفکر هندسی در ریاضیات و جست وجوی عنصر دیفرانسیل حجم در مشاهده «عین» و انتزاع ذهنی آن، درک عامی در بیان فضا به عنوان عنصر اصلی تصویرگری «احساس» و «ادراک» مطرح می کند که ضرورتاً کاربرد لفظ «فضا» را وسعت می بخشد. با حرکت از مبداء «نقطه» در هندسه که نماد بی حرکتی و بی بعدی است، بعد «خط»، در تضاد با بی بعدی به عنوان یک مفهوم ذهنی می شود و «امتداد» معنی پیدا می کند. با حرکت از مبداء «خط» که نماد بی سطحی و «امتداد» یک بعدی است بعد سطح در تضاد با امتداد به عنوان یک مفهوم ذهنی می شود و «سطح» دوبعدی معنی پیدا می کند. این مفهوم در بازگشت به مصداق عینی خود «انحنا» را تعریف می کند که کیفیتی بینابینی میان امتداد و سطح است. با حرکت از مبداء سطح که نماد بی حجمی و انحنای دوبعدی است بعد حجم در تضاد با انحنا به عنوان یک مفهوم در ذهن متولد می شود. این مفهوم در بازگشت به مصداق عینی خود «خم» را تعریف می کند که کیفیتی بینابینی میان سطح و حجم است. این، مسیر تعمیم مفهوم نقطه به عنوان عنصر بی نهایت کوچک یا سلول بنیادی «فضا» است که حد آن از صفر تا بی نهایت تغییر می کند و بافت های تکامل یافته را تشکیل می دهد و همین تعمیم است که ضرورتاً کاربرد لفظ فضا را گسترش می دهد و «نقطه مادی» را تعریف می کند. این تعریف را لزوماً نمی توان از مفهوم حرکت جدا کرد. نقطه مادی چیست؟ یک خط از چند نقطه مادی تشکیل شده است؟ یک سطح از چند نقطه؟ یک حجم از چند نقطه؟ برای همه جواب «بی نهایت» است، بی نهایت چیست؟

ادامه مطلب